Почему загораются индикаторы ручника и аккумулятора?

Индикация зарядки и ручника включается вместе. Они соединены диодами в приборном щитке.

У вас по ходу АКБ помирает. Как минимум для начала, если она обслуживаемая, проверьте уровень электролита и зарядите. Если не обслуживаемая, то сразу меняйте.
При запуске у вас на раз заряда хватает, но напруга падает ниже минимума и потому значки загораются. Через какое-то время гена чутка дозаряжает АКБ и значки гаснут. А если пытаться повторный пуск сделать, то не хватает заряда, как вы и описываете.
Если АКБ жива, то после зарядки дуйте к электрику и пусть он поищет, что её так активно высасывает.

Индикатор зарядки не загорится, даже если на работающем двигателе снять аккумулятор.
Контролируется напряжение генератора.

Если снять - не загорится. А если АКБ ввиду разряженности, хапает на себя много, то загорится.

Ремень генератора проверьте, вполне возможно, что его необходимо подтянуть или заменить...

Это да. Правда он обычно себя жутким свистом выдаёт.

Значит, подтягивать его смысла нет! Меняйте!

С ремнем все в порядке

Значит, езжайте к автоэлектрику, он разберётся и устранит проблему.