С толкача завести можно! Проверьте состояние и затяжку клемм на аккумуляторе, зачистите или замените их при необходимости, а затем тщательно затяните. Если это не поможет, значит причина в стартере, снимайте и несите электрику на ревизию, или замените.
Новый аккумулятор не означает, что у него на клеммах есть напряжение.
Измерьте вольтметром между массой двигателя и (+) выводом аккумулятора, сколько вольт до включения и при включении стартера.