Корона эксив, на холодную заводится хорошо, двигатель 4S моновпрыск, работает ровно, но покатавшись по городу и заглушив, некоторое время не

ну так проверьте показания ДТОЖ

Попробуйте его заменить на заведомо исправный для проверки. Если всё будет нормально, оставите его!

На какой датчик температуры ты льёшь воду для охлаждения?
На твоём двигателе три датчика температуры:
- датчик для приборной панели
- датчик контроллера для управления длительностью впрыска через основную форсунку
- датчик для управления впрыском при запуске двигателя через пусковую форсунку.
Температурные датчики в радиаторе и в выхлопной системе не учитываем.

Обливаю корпус термостата, куда все три датчики вкручиваются, на панели приборов стрелка температуры спадает и сразу заводится, кстати датчик температуры заменил на новый, но все также.

Вот его обливаю весь и машина заводится.

Без цифр измеренных сигналов с температурных датчиков дальнейшие проверки бессмысленны.
Диагносты работают только с цифрами. Тем более "на удалёнке" :)