Купить новый аккумулятор или зарядить старый?

Новый или зарядить - зависит от того, когда ты в последний раз вытащил ключ из замка зажигания. Если вчера - конечно зарядить и отремонтировать электрооборудование, начиная с нештатного.
Если 7 лет назад - конечно купить новый.

Неделю назад.

Зарядить и проверить ток от аккумулятора при всех выключенных потребителях и замкнутых дверях.

7 лет аккумулятору - более, чем достаточный срок его службы. Лучше просто заменить, иначе подведёт в самый неподходящий момент, а ещё впереди зима, когда он точно сдохнет. Причём, как правило, аккумулятор сдыхает в тот момент, когда нет времени, а машина нужна очень-очень...

Подскажите аккумулятор в замен старому, чтобы был не дорогой и выносливый. У меня был OBERON 55 А*ч, мне в магазине предлагают AFA 60А*ч. Еще меня смущает, что был 55 А*ч, а предлагают 60 А*ч.

Правильно предлагают, только если возьмёте совсем бюджетный, то вряд ли он у вас прослужит столько же. Возьмите корейский, японский, в крайнем случае российского производства, не берите китайский.

А по поводу 55А*ч и 60 А*ч?

60 всяко получше будет. Я большее значение придаю пусковому току. При холодном запуске зимой он важнее.